Question

（1）如圖甲，直角三角形ABC中，∠C=90°，分別以AB，AC，BC為邊作正方形ABEF，ACMN，BCGH，面積分別設為S，P，Q，則S，P，Q滿足怎樣的等量關系？（直接寫出結果，不需證明）
（2）如圖乙，直角三角形ABC中，∠C=90°，分別以AB，AC，BC為邊作等邊三角形ABE，ACM，BCH，面積分別設為S，P，Q，則S，P，Q滿足怎樣的等量關系？并證明；
（3）如圖丙，銳角三角形ABC中，分別以AC，BC為邊作任意平行四邊形ACMN，BCGH，面積分別設為P，Q，NM和HG的延長線相交于點D，連接CD，在AB外側作平行四邊形ABEF，使得BE，AF平行且等于CD，面積設為S，則S，P，Q滿足怎樣的等量關系？并證明．

Answer 1

分析：（1）S=P+Q．由于△ABC為直角三角形，所以根據勾股定理即可得到題目的結論；
（2）S=P+Q．如圖，作EG⊥AB于G，由于△ABE為等邊三角形，可以得到AB=BE=AE，∠ABE=60°，接著得到BG=

1

2

AB，EG=

3

2

AB，SABE=

1

2

AB•EG=

3

4

AB2，同理可以求出另外兩個三角形的面積，利用勾股定理的逆定理就可以證明結論正確；
（3）S=P+Q．如圖，連接DB，CE，DA，CF，根據平行四邊形的性質可以得到S=S_DCEB+S_DAFCS_DCEB=2S_DCB，S_DACF=2S_DAC，P=2S_DCA，Q=2S_DCB，然后即可證明結論成立．

解答：解：（1）S=P+Q；

（2）S=P+Q
證明：作EG⊥AB于G，
∵△ABE為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，∠ABE=60°，
∴BG=

1

2

AB，EG=

3

2

AB，
∴SABE=

1

2

AB•EG=

3

4

AB2
同理：SACM=

3

4

AC2，SCBH=

3

4

BC2，
又∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²
∴S=P+Q；

（3）S=P+Q．
證明：連接DB，CE，DA，CF
∵BE，AF平行且等于CD
∴四邊形BECD，CFAD為平行四邊形，
∴S=S_DCEB+S_DAFC
S_DCEB=2S_△DCB，
S_DACF=2S_△DCA，
又∵四邊形BCGH，ACMN為平行四邊形，
∴P=2S_△DCA，Q=2S_△DCB，
∴S=P+Q．

點評：此題是一個探究性題目，首先由特殊的三角形利用勾股定理證明猜想的結論，然后到一般圖形-等邊三角形、平行四邊形等，探究結論是否成立，然后利用勾股定理給予證明即可解決問題．