Question

如圖所示，已知正方形ABCD，直角三角形紙板的一個銳角頂點與點A重合，紙板繞點A旋轉(zhuǎn)時，直角三角形紙板的一邊與直線CD交于E，分別過B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G.

（1）當(dāng)點E在DC延長線上時，如圖①，求證：BF = DG一FG；（4分）

（2）將圖①中的三角板繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得圖②、圖③，此時BF、FG、DG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不必證明）. （4分）

Answer 1

 證明（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AD=AB，

∴∠DAG+∠BAG=90°，

∵BF⊥AE，DG⊥AF，

∴∠AFB=∠AGD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠DAG=∠ABF，

在△ABF和△DAG中，

∵∠ABF=∠DAG，

∠AFB=∠DGA=90°，

AB=AD，

∴△ABF≌△DAG，

∴AF=DG，BF=AG，              ……………………….4

∴BF=AG=AF－FG=DG－FG；

（2）圖2中，BF=DG+FG，理由如下：

由（1）可知：△ABF≌△DAG，

∴BF=AG，AF=DG，

∴BF=AG=AF+FG=DG+FG；

圖3中，BF=FG－DG．理由如下：

∵ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，ANB=AD，

∴∠FAB+∠DAG=90°，

∵BF⊥EF，DG⊥EF，

∴∠BFA=∠AGD=90°，

∠FBA+∠BAF=90°，

∴∠FBA=∠GAD，

在△FBA和△GAD中，

∵∠FBA=∠GAD，

∠BFA=∠AGD，

AB=AD，

∴△FBA≌△GAD，

∴BF=AG，F(xiàn)A=GD，

∴BF=AG=FG－FA= FG－GD．…………………………8