Question

18．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線AC，BD相交于O點，且AO，BO的長（AO＜BO）分別是一元二次方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的根，求m的值及AC、BD的長．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD=CD=BC=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，求出∠AOB=90°，根據(jù)勾股定理得出AO²+BO²=25，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），變形后代入求出m的值，即可得出答案．

解答 解：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴AO²+BO²=AB²=5²=25，
∵AO，BO的長（AO＜BO）分別是一元二次方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的根，
∴AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），
∴AO²+BO²=（AO+BO）²-2AO×BO=25，
∴（2m-1）²-8（m-1）=25，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∵AO+BO=2m-1，AO×BO=4（m-1），
∴當m=-1時，AO×BO=-8＜0，不符合題意，舍去，
即m=4，
則AO+BO=7且AO×BO=12，
∵AO＜BO，
∴AO=3，BO=4，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=8．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，能得出關(guān)于m的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的對角線互相平分且相等．