Question

7．在△ABC中，∠A=∠C，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)E作射線EF∥AB交AC于點(diǎn)F，EM交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)N在射線EF上，且∠EMN=∠ENM，設(shè)∠ABC=α，∠MEN=β．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段AF上，α=80°，β=30°，求∠FMN的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)M在AC邊上（不與點(diǎn)A、C、F重合），α、β為任意角度，探究∠FMN與α、β的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，然后直接寫出答案．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線得出∠FEC=∠B=80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A、∠C，求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；
（2）分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在AF上時(shí)，根據(jù)平行線得出∠FEC=∠B=α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EMN和∠EMC，即可求出答案；②當(dāng)點(diǎn)M在CF上時(shí)，由①得出∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），∠EMN=90°-$\frac{1}{2}$β，代入∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C得出∠FMN+90°-$\frac{1}{2}$β=α-β+$\frac{1}{2}$（180°-α），即可求出答案．

解答 解：（1）∵EF∥AB，
∴∠B=∠FEC=80°，∠A=∠EFC，
∵∠A=∠C，
∴∠C=∠A=$\frac{1}{2}$（180°-∠FEC）=50°，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠A=50°．
∵∠MEF=β=30°，
∴∠EMN=∠ENM=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，∠EMF=∠EFC-∠MEF=50°-30°=20°．
∴∠FMN=∠EMN-∠EMF=75°-20°=55°；

（2）①當(dāng)點(diǎn)M在AF上時(shí)，∠FMN=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β，
如圖1，∵EF∥AB，
∴∠FEC=∠B=α，
∵∠A=∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵∠EMN=∠ENM，
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$（180°-β）=90°-$\frac{1}{2}$β，
∠MEC=∠FEC+∠MEN=α+β，
∴∠EMC=180°-∠MEC-∠C
=180°-（α+β）-$\frac{1}{2}$（180°-α）
=90°-$\frac{1}{2}$α-β，
∴∠FMN=∠EMN-∠EMC
=（90°-$\frac{1}{2}$β）-（90°-$\frac{1}{2}$α-β）=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$β；
②當(dāng)點(diǎn)M在CF上時(shí)，∠FMN=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β，
理由是：如圖3，由①得：∠C=$\frac{1}{2}$（180°-α），∠EMN=90°-$\frac{1}{2}$β，
∠FMN+∠EMN=∠MEC+∠C，
即∠FMN+90°-$\frac{1}{2}$β=α-β+$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠FMN=$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．