Question

（2012•武漢模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線(xiàn)，E為⊙O的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)分別交射線(xiàn)AM、BN于D、C兩點(diǎn)，且CB=CE．
（1）求證：CD為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若tan∠BAC=

2

2

，求 

AH

CH

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OE．欲證CD為⊙O的切線(xiàn)，只需證明OE⊥CD即可；
（2）作輔助線(xiàn)（延長(zhǎng)BE交AM于點(diǎn)G，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥BC于點(diǎn)T）構(gòu)建相似三角形：△AHG∽△CHB；在Rt△ABC和Rt△DTC中，利用∠BAC的正切函數(shù)的定義以及勾股定理求得線(xiàn)段AD（DE）與線(xiàn)段AG（CB）間的數(shù)量關(guān)系；最后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得

AH

CH

=

AG

CB

=

2a

2 x

=1．

解答：解：（1）證明：連接OE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC為⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE為半徑，
∴CD為⊙O的切線(xiàn)；

（2）延長(zhǎng)BE交AM于點(diǎn)G，連接AE，過(guò)點(diǎn)D作DT⊥BC于點(diǎn)T．
∵DA、DC、CB為⊙O的切線(xiàn)，
∴DA=DE，CB=CE．
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=

2

2

，令A(yù)B=2x，則BC=

2

x．
∴CE=BC=

2

x；                  
令A(yù)D=DE=a，
則在Rt△DTC中，CT=CB-AD=

2

x-a，DC=CE+DE=

2

x+a，DT=AB=2x，
∵DT²=DC²-CT²，∴（2x）²=（

2

x+a）²-（

2

x-a）²．
解之得，x=

2

a；
∵AB為直徑，
∴∠AEG=90°．
∵AD=ED，
∴AD=ED=DG=a．
∴AG=2a；
∵AD、BC為⊙O的切線(xiàn)，AB為直徑，
∴AG∥BC．  
所以△AHG∽△CHB．
∴

AH

CH

=

AG

CB

=

2a

2 x

．
∴

AH

CH

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)，平分兩條切線(xiàn)的夾角；直徑所對(duì)的圓周角是直角；運(yùn)用一元二次方程的解法求得圖中相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度；運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．