Question

如圖，已知△ABC的面積是的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于________（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

3-
分析：根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后求出其邊長，過點(diǎn)F作FH⊥AE，過C作CM⊥AB，利用三角函數(shù)求出HF的值，即可得出三角形AFE的面積．
解答：作CM⊥AB于M，
∵等邊△ABC的面積是，
∴設(shè)BM=x，∴tan∠BCM==，
∴BM=CM，
∴×CM×AB=×2×CM²=4，
∴CM=2，BM=2，
∴AB=4，AD=AB=2，
在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設(shè)AH=HF=x，則EH=xtan30°=x．
又∵AH+EH=AE=AD=2，
∴x+x=2，
解得x=3-．
∴S_△AEF=×2×（3-）=3-．
故答案為：3-．
點(diǎn)評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問題可解．