Question

如圖，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=5，E、F分別是AB、AC的中點，P在EF或EF的延長線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設BP=y，PE=x．
（1）當x=

1

4

EF時，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）當CQ=

1

3

CE時，求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線得出EF∥BC，且EF=

1

2

BC推出△EDP∽△CDB，得出相似比是1：8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）延長BQ交EF的延長線于點H，證△QEH∽△QCB，得出

BC

EH

=

CQ

QE

，求出EH=2BC=10，求出PB=PH，推出EH=x+y=2BC=10，即可得出答案．

解答：解：（1）∵E、F分別是AB．AC的中點，x=

1

4

EF，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴

EP

BC

=

1

8

，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：64；

（2）延長BQ交EF的延長線于點H，
∵EF∥BC，
∴△QEH∽△QCB，
∴

BC

EH

=

CQ

QE

，
∵CQ=

1

3

CE，
又∵BC=5，
∴EH=2BC=10，
∵△QEH∽△QCB，
∴∠PHQ=∠CBQ，
又∵BQ平分∠CBD，
∴∠CBQ=∠PBQ，
∴∠PHB=∠PBH，
∴PB=PH，
∴EH=PE+PH=PE+PB=x+y=2BC=10，
∴y=-x+10（0＜x＜10）．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較好的題目，有一定的難度．