Question

如圖，已知直線y=2x-6與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并且x₁、x₂滿足：x₁²+x₂²+x₁x₂=13．
（1）求雙曲線y=

k

x

的表達式；
（2）設(shè)直線OA與雙曲線的另一個交點為C，過原點O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

于
M、N兩點（點M在第一象限），若由點A、M、C、N為頂點組成的四邊形的面積為24，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用韋達定理求出k的值，進一步寫出表達式．
（2）通過圖形面積分兩種情況求出點M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由

y=2x-6 y= k x

得：2x²-6x-k=0
∴

x1+x2=3  x1x2=- k 2

，
∵x₁²+x₂²+x₁x₂=13，∴（x₁+x₂）²-x₁x₂=13，即9+

k

2

=13，
解得：k=8，
所以雙曲線y=

k

x

的表達式為：y=

8

x

．

（2）由（1）可得2x²-6x-8=0，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A（4，2），B（-1，-8），
由對稱性可知，
四邊形AMCN為平行四邊形，
∵四邊形AMCN的面積=24，△OAM的面積=6，
設(shè)點M（m，

8

m

）（m＞0且m≠4），
①當(dāng)0＜m＜4時，過A、M分別作x軸的垂線AD、ME，
則四邊形ODAM的面積=△ODA的面積+△OAM的面積=△OEM的面積+梯形MEDA的面積，
∵△ODA的面積=△OEM的面積=4，∴梯形MEDA的面積=△OAM的面積=6，

1

2

（2+

8

m

）（4-m）=6，
m²+6m-16=0，∴m=2或m=-8（舍去），
②當(dāng)m＞4時，同①可得：梯形MEDA的面積=6，

1

2

（2+

8

m

）（m-4）=6，
m²-6m-16=0，
m=8或m=-2（舍去），
綜上所述：點M的坐標(biāo)是（2，4）（8，1）．

點評：此題考查的知識點是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是運用韋達定理確定k的值，再通過圖形面積分兩種情況求出點M的坐標(biāo)．