Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

(3)點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

（1）∵點A（－1，0）在拋物線y=x² + bx－2上，

∴× (－1 )² + b× (－1) –2 = 0，解得b = ………1分

∴拋物線的解析式為y=x²－x－2.      ………2分

y=x²－x－2 = ( x² －3x－ 4 ) =(x－)²－,

∴頂點D的坐標為 (, －).           ………3分

（2）當x = 0時y = －2,  

 ∴C（0，－2），OC = 2.                ………4分

當y = 0時，  x²－x－2 = 0，    

 ∴x₁ = －1, x₂ = 4,     ∴B (4,0)         ………5分

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,  AC² = OA² + OC² = 5, BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².               

∴△ABC是直角三角形.               ………6分

（3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，

連接C′D交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小         

解法一：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸,

∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，………8分

∴m =．    ………9分

解法二：設(shè)直線C′D的解析式為y = kx + n , 則      ，解得n = 2,  .

∴                    . ………8分

∴當y = 0時， ， 

 .     ∴.            ………9分