Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，tan∠A=

3

4

，現(xiàn)將△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜135°）得到△DCE，設(shè)直線DE與直線AB相交于點(diǎn)P，連接CP．

（1）當(dāng)CD⊥AB時(shí)（如圖1），求證：PC平分∠EPA；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)（如圖2），求證：PE+PB=6；
（3）在△ABC旋轉(zhuǎn)過程中，連接BE，當(dāng)△BCE的面積為

25

4

3

時(shí)，求∠BPE的度數(shù)及PB的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后三角形的面積不變作為相等關(guān)系得到CF=CN，從而判定CP平分∠EPA；
（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等的性質(zhì)和三角函數(shù)求解．在PA上截取PM=PE連接CM，過C作CK⊥PA得出，CM=CB=5，再利用三角函數(shù)求出BM=6，所以得到PM+PE=6；
（3）要注意有2種情況，△BEC為銳角三角形時(shí)和△BEC為鈍角三角形時(shí)兩種，不要漏掉．主要利用直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系解方程求線段的長度．

解答：解：（1）過C點(diǎn)作CN⊥DE垂足為N，
∵△ABC≌△DEC，
∴AB=DE．
∵S_△ABC=

1

2

AB•CF=S_△DCE=

1

2

DE•CN，
∵CF=CN，
∴CP平分∠EPA．

（2）如圖2在PA上截取PM=PE連接CM，過C作CK⊥PA，
由（1）同理可證CP平分∠EPA，
∴∠EPC=∠APC．
∵PM=PE，PC=PC，
∴△PMC≌△PEC，
∴CE=CM，PE=PM．
又∵CE=CB，
∴CM=CB=5，且CK⊥PA，
∴K為BM的中點(diǎn)，即BK=

1

2

BM，
在△BCK中，cos∠B=

BK

BC

=

1 2 BM

5

=

BM

10

，
在△ABC中，tan∠A=

3

4

=

5

AC

，
∴AC=

20

3

．
∵AB=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
∴cos∠B=

3

5

=

BM

10

．
∴BM=6．
∵BM=PM+PB，
∴PE+PB=6．

（3）如圖3，∵△BCE的面積為

25

4

3

，BC=5，
∴BE=BC=5，∠CED=∠PBC，∠ECB=60°，
∴∠BPE=60°．
過B點(diǎn)BH⊥PE，設(shè)BP=x，
∵PE+BP=6，
∴PE=6-x，PH=

1

2

x，BH=

3

2

x．
∴52=(

3

2

x)2+(6-x-

1

2

x)2，x=3±

4

3

3

．
∵3-

4

3

3

＜5，
∴∠BPC=120°，
∴BP＜BC，
∴x=3-

4 3

3

，
∴BP=3-

4 3

3

．
如圖4，當(dāng)△BEC為鈍角三角形時(shí)，同理可得BE=5

3

，PE-PB=6，
∵PE=6+x，∠BPE=60°，x=-3±4

3

∵-3-4

3

＜0，
∴x=4

3

-3．
∴BP=3-

4 3

3

或4

3

-3．

點(diǎn)評：本題考查旋轉(zhuǎn)相等的性質(zhì)和解直角三角形的運(yùn)用，要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．