Question

如圖，開口向下的拋物線y=ax²-8ax+12a與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在第一象限，且使△OCA∽△OBC．
（1）求OC的長及的值；
（2）設直線BC與y軸交于P點，點C是BP的中點時，求直線BP和拋物線的解析式．
（3）x軸上是否存在一點Q，使△OCQ是等腰三角形？不存在，請說明理由；存在，寫出Q點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標，即可確定OA，OB的長．根據△OCA∽△OBC，可得出關于OC、OA、OB的比例關系式即可求出OC的長．
根據圖象可知：BC²：AC²正好是三角形OBC和三角形OAC的面積比，而這兩個等高三角形的面積比等于底邊OB、OA的比，因此BC²：AC²=OB：OA，據此可求出的值．
（2）C是BP中點，因此C的橫坐標是B點橫坐標的一半，在（1）中已經求得了OC的長，因此不難得出C點的坐標．將C點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，根據B、C的坐標，可用待定系數法求出直線BP的解析式．
（3）應該有四個符合條件的點：
①以O為圓心，OC為半徑作弧，交x軸于兩點，這兩點均符合Q點要求，此時OC=OQ，已知了OC的長，即可求出Q點坐標．
②以C為圓心，CO為半徑作弧，交x軸于兩點，除O點外的另一個交點也符合Q點要求，此時CO=CQ，Q點坐標是C點坐標的2倍，由此可求得Q點坐標（其實此時Q與B重合）．
③作OC的垂直平分線，與x軸的交點，也符合Q點要求，此時OQ=CQ，可設出Q點坐標，用坐標系兩點間距離公式表示出QO和CQ的長，即可求出Q點坐標．
解答：解：（1）由題設知a＜0，且方程ax²-8ax+12a=0有兩二根x₁=2，x₂=6，
于是OA=2，OB=6，
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=12，
即OC=2，
而===3，
故；

（2）∵C是BP的中點
∴OC=BC從而C點的橫坐標為3，
又∵OC=2
∴C（3，），
設直線BP的解析式為y=kx+b，
因其過點B（6，0），C（3，），
則有，
∴．
∴y=-x+2，
又點C（3，）在拋物線上，
∴=9a-24a+12a，
∴a=-，
∴拋物線解析式為：y=-x²+x-4；

（3）點Q的坐標分別為（2，0）、（-2，0）、（6，0）、（2，0）．
點評：本題考查了相似三角形的性質、一次函數與二次函數解析式的確定、等腰三角形的判定等知識．
（3）題中要把所有的情況都考慮到，不要漏解．