Question

14．如圖，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，以AC為邊向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=50°，點(diǎn)E在邊AB上，以E為頂點(diǎn)作∠CEA=50°，點(diǎn)E在邊AB上，以E為頂點(diǎn)作∠CEA=50°，過點(diǎn)D作DF⊥CE，交EC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△CDF≌△ACG；
（2）求DF的長．

Answer 1

分析 （1）要證明△CDF≌△ACG，只要找到全等的條件即可，由題目可以得到CA=CD，∠DFC=∠CGA，由CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延長線于點(diǎn)F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，可以得到∠DCF=∠CAG，從而可以證得結(jié)論成立；
（2）由（1）中△CDF≌△ACG，可以得到DF=CG，根據(jù)在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，過點(diǎn)C作CG⊥AB，可以求得CG的長，從而得到DF的長．

解答 （1）證明：∵CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延長線于點(diǎn)F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，
∴∠CGA=∠CGE=∠DFC=90°，
∴∠GCE=∠CGE-∠CEA=90°-50°=40°，∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ECG+∠GCA+∠ACD+∠DCF=180°，
∴∠GCA+∠DCF=90°，
∴∠GCA=∠FDC，
在△CDF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCA=∠FDC}\\{∠DFC=∠CGA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△ACG（AAS）；
（2）∵△CDF≌△ACG
∴DF=CG，
∵在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，過點(diǎn)C作CG⊥AB，
∴AG=4，
∴$CG=\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
∴DF=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出題目中全等三角形需要的條件．