Question

12．在半徑為R的圓中，它的內(nèi)接正三角形、內(nèi)接正方形、內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)之比為（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1
• C． 1：2：3
• D． 3：2：1

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再由正多邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：如圖1所示，
在正三角形ABC中連接OB，過(guò)O作OD⊥BC于D，
則∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
故BC=2BD=$\sqrt{3}$R；
如圖2所示，
在正方形ABCD中，連接OB、OC，過(guò)O作OE⊥BC于E，
則△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
故BC=$\sqrt{2}$R；
如圖3所示，
在正六邊形ABCDEF中，連接OA、OB，過(guò)O作OG⊥AB，
則△OAB是等邊三角形，
故AG=OA•cos60°=$\frac{1}{2}$R，AB=2AG=R，
∴圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比為$\sqrt{3}$R：$\sqrt{2}$R：R=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓內(nèi)接正三角形、正方形及正六邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線(xiàn)構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．