Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的延長線上，EP=EG，
（1）求證：直線EP為⊙O的切線；
（2）點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，若BG²=BF•BO．試證明BG=PG；
（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=

3

3

．求弦CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）連結(jié)OP，先由EP=EG，證出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°來求證．
（2）連結(jié)OG，由BG²=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根據(jù)垂徑定理可得出結(jié)論．
（3）連結(jié)AC、BC、OG，由sinB=

3

3

，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，F(xiàn)A，利用直角三角形來求斜邊上的高，再乘以2得出CD長度．

解答：（1）證明：連結(jié)OP，

∵EP=EG，
∴∠EPG=∠EGP，
又∵∠EGP=∠BGF，
∴∠EPG=∠BGF，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵CD⊥AB，
∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，
∴∠EPG+∠OPB=90°，
∴直線EP為⊙O的切線；

（2）證明：如圖，連結(jié)OG，OP，

∵BG²=BF•BO，
∴

BG

BO

=

BF

BG

，
∴△BFG∽△BGO，
∴∠BGO=∠BFG=90°，
由垂徑定理知：BG=PG；

（3）解：如圖，連結(jié)AC、BC、OG、OP，

∵sinB=

3

3

，
∴

OG

OB

=

3

3

，
∵OB=r=3，
∴OG=

3

，
由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，
∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，
∴∠B=∠OGF，
∴sin∠OGF=

3

3

=

OF

OG

∴OF=1，
∴BF=BO-OF=3-1=2，F(xiàn)A=OF+OA=1+3=4，
在Rt△BCA中，
CF²=BF•FA，
∴CF=

BF•FA

=

2×4

=2

2

．
∴CD=2CF=4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線，找準(zhǔn)角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用直角三角形中的正弦值．