Question

（11分）如圖，正方形ABCD的長(zhǎng)為1， 點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)且從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)， 以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，為DC與EF的交點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎?/p>

（1）連接CG，線段AE與CG是否相等? 請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）設(shè)AE=x， CG=y， 請(qǐng)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式并說(shuō)明自變量的取值范圍.

（3）連接BH， 當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊AD上的某一點(diǎn)時(shí)將有△BEH∽△BAE，請(qǐng)你指出這一點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）相等，理由見(jiàn)試題解析；（2）（）；（3）AE=．

【解析】

試題分析：由SAS定理可判斷△BEA≌△BGC，∴AE=CG，可得（1）（2）問(wèn)的結(jié)論；由△BCG∽△EDH和△BEA≌△BGC所得結(jié)論進(jìn)行等量代換，最后三角形相似的判定定理進(jìn)行證明．

試題解析：（1）∵BG=EB，BC=AB，∠CBA=∠EBG，∴∠EBA=∠GBC（同角的余角相等），

∴△BEA≌△BGC，∴AE=CG；

（2）由（1）知AE=CG，∴y=x（0≤x≤1）；

（3）∵△BEA≌△BGC，∴∠A=∠BCG=90°，∴∠D=∠BCG=90°，

∵∠FEB=90°，∴∠DEH+∠EAB=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠EBA，∴∠DEH=∠GBC，∵∠D=∠BCG，∴△BCG∽△EDH，又∵△BEA≌△BGC，∴△BAE∽△EDH，∴△BCG∽△EDH，∴EH：EB=DE：AB，∴當(dāng)E為DA中點(diǎn)時(shí)，EH：EB=EA：AB且∠HEB=∠A，即當(dāng)E為DA中點(diǎn)時(shí)△BEH∽△BAE．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．正方形的性質(zhì)．