Question

已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，下列說法：
①若a+b+c=0，則b²-4ac＞0；
②若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；
③若方程ax²+c=0有兩個不相等的實根，則方程ax²+bx+c=0必有兩個不相等的實根；
④若b=2a+c，則方程有兩個不相等的實根．其中正確的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①觀察條件，知是當(dāng)x=1時，有a+b+c=0，因而方程有根．
②把x=-1和2代入方程，建立兩個等式，即可得到2a+c=0．
③方程ax²+c=0有兩個不相等的實根，則△=-4ac＞0，左邊加上b²就是方程ax²+bx+c=0的△，由于加上了一個非負(fù)數(shù)，所以△＞0．
④把b=2a+c代入△，就能判斷根的情況．
解答：解：①當(dāng)x=1時，有若a+b+c=0，即方程有實數(shù)根了，
∴△≥0，故錯誤；
②把x=-1代入方程得到：a-b+c=0 （1）
把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0  （2）
把（2）式減去（1）式×2得到：6a+3c=0，
即：2a+c=0，故正確；
③方程ax²+c=0有兩個不相等的實數(shù)根，
則它的△=-4ac＞0，
∴b²-4ac＞0而方程ax²+bx+c=0的△=b²-4ac＞0，
∴必有兩個不相等的實數(shù)根．故正確；
④若b=2a+c則△=b²-4ac=（2a+c）²-4ac=4a²+c²，
∵a≠0，
∴4a²+c²＞0故正確．
②③④都正確，故選C．
點評：總結(jié)：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
2、對于給定的條件要仔細(xì)分析，向所求的內(nèi)容轉(zhuǎn)化．