Question

5．已知：m，n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）首先解方程求得m和n的值，得到A和B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）首先求得C和D的坐標(biāo)，作作DE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)S_△BCD=S_梯形OCDE-S_△DEB-S_△OBC求解．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
則m=1，n=5．
A的坐標(biāo)是（1，0），B的坐標(biāo)是（0，5）．
代入二次函數(shù)解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是y=-x²-4x+5；
（2）解方程-x²-4x+5=0，
解得：x₁=-5，x₂=1．
則C的坐標(biāo)是（-5，0）．
y=-x²-4x+5=-（x²+4x+4）+9=-（x+2）²+9，
則D的坐標(biāo)是（-2，9）．
作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則E坐標(biāo)是（0，9）．
則S_梯形OCDE=$\frac{1}{2}$（OC+DE）•OE=$\frac{1}{2}$×（2+5）×9=$\frac{63}{2}$，
S_△DEB=$\frac{1}{2}$BE•DE=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC•OB=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
則S_△BCD=S_梯形OCDE-S_△DEB-S_△OBC=$\frac{63}{2}$-4-$\frac{25}{2}$=15．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及圖形的面積的計算，正確作出輔助線轉(zhuǎn)化為易求面積的圖形的和、差是關(guān)鍵．