Question

已知AB 是⊙O 的直徑,點 P 在線段 AB 的延長線上,BP=OB=2,點 Q 在⊙O 上,連接 PQ． 

（Ⅰ）如圖①，線段 PQ 所在的直線與⊙O 相切，求線段 PQ 的長； 

（Ⅱ）如圖②，線段 PQ 與⊙O 還有一個公共點 C，且 PC=CQ，求線段 PQ 的長． 

Answer 1

（Ⅰ）解：連接 QO． 

∵  線段 PQ 所在的直線與⊙O 相切，點 Q 在⊙O 上， ∴  OQ⊥QP，即∠OQP=90°． 

又∵OQ= OB ，BP=OB =2，∴OQ=2，OP=4． ∴  PQ=    即線段 PQ 的長為.

（Ⅱ）解：過點 O 作 OE⊥QC，垂足為 E，連接 QO. 

          ∵ OE⊥QC，垂足為 E，  ∴  QE=EC．     設(shè) QE=x ，則 EC=x ，QC=2x． 

          ∵PC=CQ，∴PC=2x，PE=3x，PQ=4x． 

           由（Ⅰ）知 OQ=2，OP=4． ∴ 在 Rt△QOE 中， OE ²= OQ ² -QE ² = 2²-x ² ，

在 Rt△POE 中, OE ² = OP ²- PE ² = 4²- 9x ² ， ∴ 2²- x ² = 4²-9x ² ， 

解這個方程，得 (不合題意，舍)． 

     ∴  PQ=4x= 4×=.即線段 PQ 的長為.