Question

18．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點D在邊AB上，連接CD，過點A，C分別作AB，CD的垂線，兩垂線交于點E，連接DE．
（1）求證：△CDE是等腰直角三角形；
（2）若AD=2，BD=3，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°、EC⊥CD、AE⊥AB可得∠BCD=∠ACE、∠B=∠EAC，證△ACE≌△BCD可得；
（2）由（1）中△ACE≌△BCD知AE=BD，RT△ADE中由勾股定理可得DE的長．

解答 解：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠CAB=90°，
又∵EC⊥CD，AE⊥AB，
∴∠ECA+∠ACD=90°，∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠ACE，∠B=∠EAC，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\\{∠EAC=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴CE=CD，
又∵∠ECD=90°，
∴△ECD為等腰直角三角形；
（2）由（1）知△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
又∵∠EAD=90°，BD=3，AD=2，
∴AE=BD=3，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．