Question

已知：AD=2，BD=4，以AB為一邊作等邊三角形ABC．使C、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．
（1）如圖，當(dāng)∠ADB=60°時(shí)，求AB及CD的長； 
（2）當(dāng)∠ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求CD的最大值，及相應(yīng)∠ADB的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）作AH⊥BD于H，在Rt△ADH中，由∠ADB=60°得∠DAH=30°，則DH=

1

2

AD=1，AH=

3

AH=

3

，所以BH=BD-DH=4-1=3，在Rt△AHB中，根據(jù)勾股定理得AB=2

3

，所以∠ABH=30°，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=60°，BC=BA=2

3

，則∠DBC=90°，再在Rt△DBC中，利用勾股定理計(jì)算CD；
（2）把△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AD，BE=DC，∠EAD=60°，所以△ADE為等邊三角形，則DE=DA=2，∠ADE=60°，由于當(dāng)E點(diǎn)在直線BD上時(shí)，BE最大，所以BE的最大值為2+4=6，則CD的最大值為6，此時(shí)∠ADB=120°．

解答：解：（1）作AH⊥BD于H，如圖，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB=60°，
∴∠DAH=30°，
∴DH=

1

2

AD=1，
∴DH=

3

AH=

3

，
∴BH=BD-DH=4-

3

，
在Rt△AHB中，AB=

AH2+BH2

=2

3

，
∴∠ABH=30°，
∵△ACB為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA=2

3

，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，CD=

BD2+BC2

=2

7

；
（2）把△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEB，
則AE=AD，BE=DC，∠EAD=60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE=DA=2，∠ADE=60°，
當(dāng)E點(diǎn)在直線BD上時(shí)，BE最大，最大值為2+4=6，
∴CD的最大值為6，此時(shí)∠ADB=120°．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．