Question

17．如圖，直角梯形ABCD的直角腰BC在x軸上，點A（1，2），點D（2，1），過A，D兩點的直線分別交x軸，y軸于點E，F(xiàn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O，A，D三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為線段OD上一個動點（P不與O，D重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的P點，使得BP=AM？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若△AOB沿AD方向平移（即點A始終在線段AD上，且AB始終與Y軸平行），△AOB在平移過程中與直角梯形ABCD重疊部分面積記為S，試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A、D、O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，然后解得a、b、c的值即可；
（2）先求得直線OD的解析式，設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}a$）則點M的坐標(biāo)為（a，$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a），AM=BP可知點M與點P關(guān)于y=1對稱，從而得到$\frac{1}{2}a$$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a=2，然后解得a的值，從而得到點P的坐標(biāo)；
（3）先求得直線OA和AD的解析式，設(shè)點A′的橫坐標(biāo)為h，由AD得解析式可知點A′的縱坐標(biāo)為3-h，BH=h-1，平行直線的特點可求得直線A′O′的解析式為y=2x+3-3h．從而可求得BG=5-3H，接下來依據(jù)梯形的面積公式可求得S與h的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法可求得S的最大值．

解答 解：（1）∵A、D、O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=2}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{7}{2}$c=0，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{7}{2}x$．
（2）如圖1所示．

設(shè)直線OD的解析式為y=kx．
∵點D的坐標(biāo)代入得：2k=1，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴OD的解析式為y=$\frac{1}{2}x$．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{2}a$）則點M的坐標(biāo)為（a，$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a）
∵AM=PB，PM∥AB，
∴點M與點P關(guān)于y=1對稱．
∴$\frac{1}{2}a$$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{7}{2}$a=2．
整理得：3a²-8a+4=0，
解得：a₁=2，a₂=$\frac{2}{3}$
∴點P的坐標(biāo)為（2，1）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（3）如圖2所示：

設(shè)OA的解析式為y=kx．
∵將點A坐標(biāo)代入得：k=2，
∴直線OA的解析式為y=2x．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．
∵將點（2，1）、（1，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3．
∴直線AD的解析式為y=-x+3．
設(shè)點A′的坐標(biāo)為（h，-h+3）．則BH=h-1，A′H=-h+3．
∵OA∥O′A′，
∴直線O′A′的一次項系數(shù)為2．
設(shè)O′A′的解析式為y=2x+b₁．
∵將點A′的坐標(biāo)代入得：2h+b₁=-h+3，解得：b₁=3-3h，
∴直線O′A′的解析式為y=2x+3-3h．
∵將x=1代入得：y=5-3h，
∴BG=5-3H．
∴S=$\frac{1}{2}$（BG+A′H）BH=$\frac{1}{2}$×（5-3h+3-h）（h-1）=-2h²+6h+2=-2（h-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)h=$\frac{3}{2}$時，S有最大值，最大值為S=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、梯形的面積公式、配方法求二次函數(shù)的最值，列出S于點A′的橫坐標(biāo)h之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．