Question

已知：OA、OB為⊙O的半徑，OA⊥OB，點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，線段AC、BD相交于E．
（1）求證：AC=BD．
（2）若⊙O的半徑為6，求線段DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理,圓的認(rèn)識

專題：

分析：（1）求出OC=OD，根據(jù)SAS證出△AOC≌△BOD即可．
（2）連接DC，AB，先根據(jù)勾股定理求出DB的長，再根據(jù)根據(jù)三角形中位線求出△DCE∽△BAE，得出比例式，求出DE即可得出答案．

解答：（1）證明：）∵OA=OB，點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，
∴OC=OD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠O=∠O OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD．
（2）連接DC，AB，
∵OA⊥OB，OB=6，OD=3，
∴DB=

OD2+OB2

=3

5

，
∵點(diǎn)C、D分別為OB、OA的中點(diǎn)，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DEC=∠AEB，
∴△DCE∽△BAE，
∴DC：AB=DE；BE=1：2，
∴DE=

1

3

DB=

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．