Question

如圖，正方形ABCD和正方形AEFG有公共的頂點(diǎn)A，連BG、DE，M為DE的中點(diǎn)，連AM．

（1）如圖1，AE、AG分別與AB、AD重合時(shí)，AM和BG的大小和位置關(guān)系分別是；______、______；
（2）將圖1中的正方形AEFG繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）角時(shí)，如圖2，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？試證明你的結(jié)論；
（3）若將圖1中的正方形AEFG繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（90°＜α＜180°）角時(shí)，則AM和BG的大小和位置關(guān)系分別是：______、______，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△ABG≌△ADE，BG=DE，又AM是△ADE的斜邊上中線，所以AM=DE，故AM=BG，所以BG=2AM，由角相等及互余關(guān)系，可得AM⊥BG；
（2）要證明BG=2AM，可將線段AM延長(zhǎng)一倍，此時(shí)的線段就等于BG，用旋轉(zhuǎn)法證明三角形全等，得出結(jié)論；
（3）學(xué)會(huì)仿照前面的圖形畫(huà)圖．
解答：解：（1）BG=2AM，AM⊥BG；

（2）延長(zhǎng)AM至K，使MK=AM，連接DK、EK，得平行四邊形ADKE．
則EK⊥DC，∠EKD=∠EAD，
∴∠KDC=∠GAD，
∴∠BAG=∠ADK，
易證△ABG≌△DAK，
∴BG=2AM，∠DAK=∠ABG，
∴AM⊥BG．

（3）如圖所示，BG=2AM，AM⊥BG．
點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題的方法．
注意旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．