Question

8．如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O，D，C三點(diǎn)．
（1）求AD的長(zhǎng)及拋物線的解析式；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，使MD+ME的值最小，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求MD+ME的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊圖形的軸對(duì)稱性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AE的長(zhǎng)；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長(zhǎng)．進(jìn)一步能確定D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能確定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）直接利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出M點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由題意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
設(shè)AD=x，則BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，∴AD=3．
∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CP}{DE}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{13}$．
當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{QC}{DE}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得：t=$\frac{25}{7}$．
∴當(dāng)t=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．

（3）如圖所示：作點(diǎn)D（3，10）關(guān)于對(duì)稱軸x=4的對(duì)稱點(diǎn)D₁（5，10），連接D₁E交對(duì)稱軸x=4于點(diǎn)M，此時(shí)MD+ME的值最小，
設(shè)直線D₁E的解析式為：y=kx+b（k≠0），
將E（0，6），D₁（5，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{5k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
故直線D₁E的解析式為：y=$\frac{4}{5}$x+6（0≤x≤5），
令x=4，解得：y=$\frac{46}{6}$，
∴M（4，$\frac{46}{5}$），
此時(shí)，MD+ME=ME+MD₁=D₁E=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，題目涉及了圖形的折疊變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)．第2問(wèn)需要進(jìn)行分類討論，以免漏解．