Question

3．【閱讀】在平面直角坐標系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則線段PQ的中點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．（不必說理，可直接運用）．
【理解】若點P（3，4），Q（-3，-6），則線段PQ的中點坐標是（0，-1）．
【運用】如圖，已知△A′B′C′是由△ABC繞原點O旋轉(zhuǎn)180°后，再向右平移3個單位而得到的，其中A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）．
（1）說明△ABC與△A′B′C′稱中心對稱，并求出對稱中心的坐標．
（2）探究該平面內(nèi)是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 【理解】線段的中點坐標公式直接計算即可；
【運用】（1）由△ABC與△A′B′C′稱中心對稱，根據(jù)對稱點的連線被對稱軸垂直平分，用線段的中點坐標公式直接計算即可；
（2）由平行四邊形的三個頂點已知，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，借助線段的中點坐標公式直接計算即可；

解答 【理解】解：∵點P（3，4），Q（-3，-6），
∴線段PQ的中點坐標是（$\frac{3+（-3）}{2}$，$\frac{4+（-6）}{2}$）．
∴線段PQ的中點坐標是（0，-1），
故答案為（0，-1）；
【運用】（1）設(shè)AA'，BB'，CC'的中點分別為E，F(xiàn)，G．
∵A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）
∴A'（5，5），B'（4，2），C'（6，1），
∴E（1.5，0），F(xiàn)（1.5，0），G（1.5，0），
∴E、F、G重合，即△ABC與AA'B'C'成中心對稱，
對稱中心的坐標為（1.5，0），
（2）設(shè)存在點D（x，y），使得以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．
①當AB為平行四邊形的對角線時，設(shè)AB的中點為O₁，
∴O₁（-1.5，-3.5）
∵O₁也是CD的中點
∴$\frac{x+（-3）}{2}$=-$\frac{3}{2}$.$\frac{y+（-1）}{2}$=-$\frac{7}{2}$
解得x=0，y=-6
∴D₁（0，-6），
②當BC為平行四邊形的對角線時，
同①的解法，可得D₂（-2，2），
③當AC為平行四邊形的對角線時，
同①的解法，可得D₃（-4，-4）
綜上所述：存在點D，坐標分別為（0，-6），（-2，2），（-4，-4）．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點坐標的確定，根據(jù)是閱讀材料，理解線段的中點坐標公式是解本題的關(guān)鍵．