【題目】已知,在矩形ABCD中,AB=aBC=b,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).

1)如圖1,當(dāng)b=2a,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)證明∠BMC=90°;

2)如圖2,當(dāng)b2a時(shí),點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,請(qǐng)給與證明;若不存在,請(qǐng)說明理由;

3)如圖3,當(dāng)b2a時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.

【答案】1)證明:∵b=2a,點(diǎn)MAD的中點(diǎn),∴AB=AM=MD=DC=a

在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°∴∠AMB=∠DMC=45°。

∴∠BMC=90°

2)解:存在,理由如下:

∠BMC=90°,則∠AMB=∠DMC=90°。

∵∠AMB+∠ABM=90°∴∠ABM=∠DMC。

∵∠A=∠D=90°∴△ABM∽△DMC。

設(shè)AM=x,則,整理得:x2﹣bx+a2=0。

∵b2a,a0,b0,∴△=b2﹣4a20。

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

兩根之積等于a20,兩根同號(hào)。

兩根之和等于b 0兩根為正。符合題意。

當(dāng)b2a時(shí),存在∠BMC=90°

3)解:不成立.理由如下:

∠BMC=90°,由(2)可知x2﹣bx+a2=0

∵b2a,a0b0,∴△=b2﹣4a20方程沒有實(shí)數(shù)根。

當(dāng)b2a時(shí),不存在∠BMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立。

【解析】試題分析:(1)由b=2a,點(diǎn)MAD的中點(diǎn),可得AB=AM=MD=DC=a,又由四邊形ABCD是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,則可求得∠BMC=90°

2)由∠BMC=90°,易證得△ABM∽△DMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得方程:x2﹣bx+a2=0,由b2aa0,b0,即可判定0,即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意;

3)由(2),當(dāng)b2aa0,b0,判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情況,即可求得答案.

試題解析:(1∵b=2a,點(diǎn)MAD的中點(diǎn),

∴AB=AM=MD=DC=a,

在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,

∴∠AMB=∠DMC=45°,

∴∠BMC=90°

2)存在,

理由:若∠BMC=90°,

∠AMB+∠DMC=90°

∵∠AMB+∠ABM=90°,

∴∠ABM=∠DMC

∵∠A=∠D=90°,

∴△ABM∽△DMC,

,

設(shè)AM=x,則,

整理得:x2﹣bx+a2=0,

∵b2a,a0,b0,

∴△=b2﹣4a20

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意,

當(dāng)b2a時(shí),存在∠BMC=90°

3)不成立.

理由:若∠BMC=90°,

由(2)可知x2﹣bx+a2=0,

∵b2a,a0,b0

∴△=b2﹣4a20,

方程沒有實(shí)數(shù)根,

當(dāng)b2a時(shí),不存在∠BMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立.

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