Question

我們知道，二次函數的圖象是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點M（x，y）到定點A（0，

p

2

）的距離與它到定直線y=-

p

2

的距離相等，則動點M形成的圖形就叫拋物線x²=2py（p＞0）．
（1）已知動點M（x，y）到定點A（0，4）的距離與到定直線y=-4的距離相等，請寫出動點M形成的拋物線的解析式．
（2）若（1）中求得的拋物線與一次函數y=

3

16

x+

1

4

相交于B、C兩點，求△OBC的面積．
（3）若點D的坐標是（1，8），在（1）中求得的拋物線上是否存在點P，使得PA+PD最短？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）易求得P=8，即可解題；
（2）根據拋物線與直線交于B，C兩點即可求得點B，C坐標，即可求得S_△OBC的值，即可解題；
（3）根據拋物線定義可得點P與點D橫坐標相同時，PA+PD有最小值．

解答：解：（1）動點M（x，y）到定點A（0，4）的距離與到定直線y=-4的距離相等，
則P=8，
∴拋物線解析式為x²=16y；
（2）拋物線與一次函數y=

3

16

x+

1

4

交于點B，C，
則滿足x²=16（

3

16

x+

1

4

），
解得：x=-1或4，
∴點B橫坐標分別為-1，縱坐標為

1

16

，點C橫坐標分別為4，縱坐標為1，
∴點B（-1，

1

16

），點C（4，1），
設直線y=

3

16

x+

1

4

交y軸于E（0，

1

4

），
∴S_△OBC=

1

2

OE•（1+4）=

5

8

；
（3）存在，
理由：畫簡略示意圖如圖所示，

 設點P到直線y=-4的距離為d，
由拋物線的定義可知：PA=d，
則PA+PD=d+PD，
∴過點D作直線y=-4的垂線段，與拋物線的交點即為P點
將x=1代入x²=16y中，求得點P（1，

1

16

），
∴拋物線上存在點P（1，

1

16

），使得PA+PD最短．

點評：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線的定義，考查了拋物線與直線交點問題的求解，考查學生數形結合的數學思想方法．