Question

8．如圖，在直角△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠BDE=α，∠CFE=β
（1）請用含α，β的代數(shù)式表示∠DEF，并證明你的結(jié)論；
（2）若DE恰好垂直AB，如圖②，且AF=EF，試用含β的代數(shù)式表示∠BEF，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖③所示．若β=60°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），求直線AC的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）用鄰補(bǔ)角求出∠ADE，∠AFE，再用四邊形的內(nèi)角和即可；
（2）先判斷出DE∥AC，再利用中垂線的性質(zhì)得出∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β，即可；
（3）先求出∠ABC，∠ACB，再判斷出△ABE是等邊三角形，進(jìn)而求出EC，EF，從而得出點(diǎn)C，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可求出直線AC解析式．

解答 解：（1）∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=180°-α，
同理：∠AFE=180°-β，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，得，∠BAC+∠ADE+∠DEF+∠AFE=360°，
∴90°+180°-α+∠DEF+180°-β=360°，
∴∠DEF=α+β-90°；
（2）如圖②，連接AE，

∵DE恰好垂直AB，
∴∠BDE=90°，
∴DE∥AC，
∴∠EAF=∠AED，∠DEF=∠CFE=β，
∵AF=EF，
∴∠EAF=∠AEF，
∴∠AEF=∠AED=$\frac{1}{2}$∠DEF=$\frac{1}{2}$β，
∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=∠AED=$\frac{1}{2}$β，
∴∠BEF=∠BED+∠AED+∠AEF=$\frac{3}{2}$β；
（3）如圖③，

∵β=60°，
由（2）知，∠BED=∠AED=∠EAF=$\frac{1}{2}$β=30°，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠EAC，
∴EC=AE，
∴AE=BE=CE，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），
∴BE=2，
∴AE=CE=2，
∴BC=BE+CE=4，
∴C（4，0），
在△CEF中，∠ACB=30°，∠EFC=60°，
∴∠FEC=90°，
在Rt△CEF中，CE=2，∠ECF=30°，
∴EF=CEtan∠ECF=2×tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴F（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法，四邊形的內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠CEF=90°．