Question

10．已知點A（2，-2）和點B（-4，n）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及點B的坐標(biāo)；
（2）點P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形，求點P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=ax²（a≠0）向右并向下平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，若四邊形ABB′A′為正方形，求此時拋物線的表達式．

Answer 1

分析 （1）把點A（2，-2）代入y=ax²，得到a，再把點B代入拋物線解析式即可解決問題．
（2）求出直線AB解析式，再分別求出過點A垂直于AB的直線的解析式，過點B垂直于直線AB的解析式即可解決問題．
（3）先求出點A′坐標(biāo)，確定是如何平移的，再確定拋物線頂點的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）把點A（2，-2）代入y=ax²，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線為y=-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-4時，y=-8，
∴點B坐標(biāo)（-4，-8），
∴a=-$\frac{1}{2}$，點B坐標(biāo)（-4，-8）．
（2）設(shè)直線AB為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-8}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AB為y=x-4，
∴過點B垂直AB的直線為y=-x-12，與y軸交于點P（0，-12），
過點A垂直AB的直線為y=-x，與y軸交于點P′（0，0），
∴點P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形時．點P坐標(biāo)為（0，0），或（0，-12）．
（3）如圖四邊形ABB′A′是正方形，過點A作y軸的垂線，過點B、點A′作x軸的垂線得到點E、F．
∵直線AB解析式為y=-x-12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，
∵AB=AA′=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=A′E=6，
∴點A′坐標(biāo)為（8，-8），
∴點A到點A′是向右平移6個單位，向下平移6個單位得到，
∴拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²的頂點（0，0），向右平移6個單位，向下平移6個單位得到（6，-6），
∴此時拋物線為y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²-6．

點評 本題考查二次函數(shù)圖象上點的特征、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，知道兩條直線垂直k的乘積為-1，屬于中考常考題型．