Question

10．已知點(diǎn)A（2，-2）和點(diǎn)B（-4，n）在拋物線y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=ax²（a≠0）向右并向下平移，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，若四邊形ABB′A′為正方形，求此時(shí)拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（2，-2）代入y=ax²，得到a，再把點(diǎn)B代入拋物線解析式即可解決問(wèn)題．
（2）求出直線AB解析式，再分別求出過(guò)點(diǎn)A垂直于AB的直線的解析式，過(guò)點(diǎn)B垂直于直線AB的解析式即可解決問(wèn)題．
（3）先求出點(diǎn)A′坐標(biāo)，確定是如何平移的，再確定拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（2，-2）代入y=ax²，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線為y=-$\frac{1}{2}$x²，
∴x=-4時(shí)，y=-8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（-4，-8），
∴a=-$\frac{1}{2}$，點(diǎn)B坐標(biāo)（-4，-8）．
（2）設(shè)直線AB為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-8}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AB為y=x-4，
∴過(guò)點(diǎn)B垂直AB的直線為y=-x-12，與y軸交于點(diǎn)P（0，-12），
過(guò)點(diǎn)A垂直AB的直線為y=-x，與y軸交于點(diǎn)P′（0，0），
∴點(diǎn)P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形時(shí)．點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0），或（0，-12）．
（3）如圖四邊形ABB′A′是正方形，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)A′作x軸的垂線得到點(diǎn)E、F．
∵直線AB解析式為y=-x-12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，
∵AB=AA′=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴AE=A′E=6，
∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（8，-8），
∴點(diǎn)A到點(diǎn)A′是向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到，
∴拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²的頂點(diǎn)（0，0），向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到（6，-6），
∴此時(shí)拋物線為y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，知道兩條直線垂直k的乘積為-1，屬于中考�？碱}型．