Question

課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙．請思考解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請給予證明．
（2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進(jìn)行如下操作：第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2甲）；第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG（如圖2乙），此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合．請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由．
（3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB=1，BC=，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長．…

Answer 1

解：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，
∴=，由對開的含義知：AF=BC，
∴==2==，
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙．
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下：設(shè)AB=CD=a，
由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD==a，
∴==，∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙；
（3）對開次數(shù)：第一次，周長為：2（1+）=2+，
第二次，周長為：2（+）=1+，
第三次，周長為：2（+）=1+，
第四次，周長為：2（+）=，
第五次，周長為：2（+）=，
第六次，周長為：2（+）=，…
∴第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是：，
第2012次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：．