Question

5．如圖，CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A，E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，∠CAB=∠BCA，CE⊥BD．
（1）直線AC是線段DE的垂直平分線嗎？說說你的理由；
（2）線段CD與BD相等嗎？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△ABD≌△BCE，得出AD=BE，因此AD=AE=$\frac{1}{2}$BC再證出∠DAC=∠BAC，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出AC是線段DE的垂直平分線即可；
（2）作DM⊥BC于M，則AD=BM，得出BM=$\frac{1}{2}$BC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線AC是線段DE的垂直平分線；理由如下：
∵E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，CE⊥BD，
∴∠BAD=∠CBE=90°，∠ABD+∠CBD=90°，∠CBD+∠BCE=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CBE}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠BCE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴AD=BE，
∴AD=AE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=90°-45°=45°=∠BAC，
∵AD=AE，
∴直線AC是線段DE的垂直平分線；
（2）CD=BD；理由如下：
作DM⊥BC于M，則AD=BM，如圖所示：
∴BM=$\frac{1}{2}$BC，
即M是BC的中點(diǎn)，
∴CD=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．