Question

    如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．

   （1）求證：KE=GE；

   （2）若=KD·GE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；

   （3） 在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析（2）平行，理由見解析（3）

【解析】(1)  所以KE=GE

   （2）

   （3）

        ,

（1）連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對等邊得到KE=GE；

（2）AC與EF平行，理由為：連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；

（3）連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．