Question

如圖，AB是00的直徑，AE平分么BAF交⊙O于E，過E點(diǎn)作直線與AF垂直，交AF延長線于D點(diǎn)，且交AB的延長線于C點(diǎn)．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，DE=，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，則∠OAE=∠OEA．
由∠OAE=∠EAD得∠OEA=∠EAD，
所以O(shè)E∥AD．
因?yàn)锳D⊥CD，所以O(shè)E⊥CD，
所以CD是⊙O的切線．

（2）解：過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G．
則∠AOG=∠ACD=30°，四邊形OEDG為矩形．
∴OG=ED=，
∴OA=2，
∴⊙O的直徑是4．
分析：（1）連接OE．因?yàn)镃D經(jīng)過E點(diǎn)，所以只需證明OE⊥CD即可．先證明OE∥AD，由AD⊥CD得證．
（2）作OG⊥AD于點(diǎn)G．在Rt△AOG中先求半徑OA，再求直徑AB．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．