Question

如圖，△ABP中，∠APB=∠α，把△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△ACE．連結(jié)BC、PE、PC，測(cè)量得∠BPC=100°．

（1）請(qǐng)找出圖中的兩個(gè)等邊三角形：______ （不再添加其它點(diǎn)或線）
（2）若∠α=150°，試判斷△PEC的形狀，并說(shuō)明你的理由；
（3）若△CPE為等腰三角形，求∠α的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△ACE，
∴∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，
∴△ABC和△APE都是等邊三角形；
故答案為△ABC，△APE；
（2）∵△APE是等邊三角形，
∴∠APE=∠AEP=60°，
∵△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△ACE，
∴∠AEC=∠APB=150°，
∴∠CEP=∠AEC-∠AEP=150°-60°=90°，
又∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=50°，
∴△PEC是直角三角形；
（3）∵∠CPE=360°-∠APB-∠BPC-∠APE=200°-α，
而∠CEP=∠AEC-∠AEP=α-60°，
∴∠PCE=180°-∠CPE-∠CEP=180°-（200°-α）-（α-60°）=40°，
∵△CPE為等腰三角形，下面分三種情況討論：
①當(dāng)∠CPE=∠CEP時(shí)，
200°-α=α-60°，解得α=130°；
②當(dāng)∠CPE=∠PCE時(shí)，
200°-α=40°，解得α=160°；
③當(dāng)∠PCE=∠CEP時(shí)，α-60°=40°，解得α=100°…
綜上所述，若△CPE為等腰三角形，則α=100°，130°，160°．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAC=∠PAE=60°，AB=AC，AP=AE，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法可確定△ABC和△APE都是等邊三角形；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由△APE是等邊三角形得到∠APE=∠AEP=60°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AEC=∠APB=150°，則可計(jì)算出∠CEP=90°，∠CPE=50°，于是可判斷△PEC是直角三角形；
（3）先用α表示∠CPE=200°-α，∠CEP=α-60°，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠PCE=40°，然后由△CPE為等腰三角形分類(lèi)討論：當(dāng)∠CPE=∠CEP時(shí)，即200°-α=α-60°；當(dāng)∠CPE=∠PCE時(shí)，即200°-α=40°；當(dāng)∠PCE=∠CEP時(shí)，即α-60°=40°，再分別解方程求α．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．