Question

7．已知．如圖，在正方形（四邊相等，四個內(nèi)角都為90°）ABCD中，過頂點D作射線交AB于E，過點B作BF⊥DE，F(xiàn)為垂足，聯(lián)結(jié)AF，過點A作AG⊥AF交DE于G．求證：∠AGD=135°．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形性質(zhì)求出AD=AB，∠DAE=90°，求出∠BFE=∠DAE=∠FAG=90°，∠FAB=∠DAG，根據(jù)∠ADG=180°-∠DAG-∠AED，∠ABF=180°-∠BFE-∠BEF求出∠ADG=∠ABF，根據(jù)ASA推出△DAG≌△BAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=AG，求出∠AFG=∠AGF=45°，即可得出答案．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=90°，
∵AF⊥AG，BF⊥DE，
∴∠BFE=∠DAE=∠FAG=90°，
∴∠FAB=∠DAG=90°-∠GAE，
∵∠ADG=180°-∠DAG-∠AED，∠ABF=180°-∠BFE-∠BEF，
又∵∠DAE=∠BFE，∠AED=∠BEF，
∴∠ADG=∠ABF，
在△DAG和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADG=∠ABF}\\{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAF}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAF（ASA），
∴AF=AG，
∵∠FAG=90°，
∴∠AFG=∠AGF=45°，
∴∠AGD=∠GAF+∠AFG=90°+45°=135°．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．