Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度數(shù)及AC的長．

Answer 1

【答案】分析：解法一：分別作AF⊥BC，DG⊥BC，F(xiàn)、G是垂足，把梯形轉換成矩形和兩個直角三角形，首先利用梯形的性質和已知條件證明Rt△AFB≌Rt△DGC，然后在Rt△AFB中解直角三角形即可求出所求線段；
解法二：過A點作AE∥DC交BC于點E，把梯形的問題轉換成平行四邊形和等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質和三角函數(shù)的定義即可求出所求線段．
解答：解：解法一：分別作AF⊥BC，DG⊥BC，F(xiàn)、G是垂足，
∴∠AFB=∠DGC=90°，AF∥DG，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFGD是矩形．
∴AF=DG，
∵AB=DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC．
∴BF=CG，
∵AD=2，BC=4，
∴BF=1，
在Rt△AFB中，
∵cosB==，
∴∠B=60°，
∵BF=1，
∴AF=，
∵FC=3，
由勾股定理，
得AC=2，
∴∠B=60°，AC=2．

解法二：過A點作AE∥DC交BC于點E，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形．
∴AD=EC，AE=DC，
∵AB=DC=AD=2，BC=4，
∴AE=BE=EC=AB，
即AB=BE=AE，AE=CE，
∴△BAC是直角三角形，△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE=60°=∠AEB，∠EAC=∠ACE=∠AEB=30°，
∴∠BAC=60°+30°=90°，∠B=60°．
在Rt△ABC中，
AC=ABtan∠B=AB•tan60°=2，
∴∠B=60°，AC=2．
點評：此題主要考查了梯形的常用輔助線：作梯形的高和平移腰，把梯形的問題轉換成直角三角形或等邊三角形的問題，然后利用解直角三角形的知識和等邊三角形的性質解決問題．