Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)、B(4，0)，與y軸交于點C

(1) 求拋物線的解析式

(2) 拋物線上一點D，滿足S△DAC＝S△OAC，求點D的坐標(biāo)

(3) 如圖2，已知N(0，1)，將拋物線在點A、B之間部分（含點A、B）沿x軸向上翻折，得到圖T（虛線部分），點M為圖象T的頂點．現(xiàn)將圖象保持其頂點在直線MN上平移，得到的圖象T1與線段BC至少有一個交點，求圖象T1的頂點橫坐標(biāo)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）或（，）；（3） 圖象T1頂點橫坐標(biāo)的取值范圍.

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）分兩種情況討論：當(dāng)D在直線AC的左側(cè)時和當(dāng)D在直線AC的右側(cè)時，求得點D的坐標(biāo)；

（3）兩種極值情況求得m的值,兩值之間范圍即符合題意

解：（1）將A(1,0)，B(4，0)代入拋物線y＝x2＋bx＋c解析式得：

，

解得：b=-5，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=x2-5x+4；

（2）∵A（1,0），C（0,4），

∴直線AC的解析式為，

當(dāng)D在直線AC的左側(cè)時，

∵

∴OD∥AC，

∴直線OD的解析式為，

∴

方程組無解，

∴D不在直線AC的左側(cè)

當(dāng)D在直線AC的右側(cè)時，在軸上取點M（2,0），則，過點M作直線DM∥AC交拋物線于點D，則直線DM的解析式為，

∴

解得 ， ，

∴D（，）或（，）

（3）解：設(shè)拋物線：y=x2-5x+4的頂點為G，

則點G(2.5，-2.25)關(guān)于軸對稱點M的坐標(biāo)為：M(2.5，2.25)，

又∵N（0，1）解得直線MN：，,

∵圖象T頂點在直線MN上,

∴設(shè)圖象T1頂點為，

如圖，由點A（1，0）與M(2.5，2.25)的坐標(biāo)關(guān)系，得到點A的對應(yīng)點 ,即，

又BC：，

當(dāng)點K在BC上時, ，

∴，

∴

∵

∴點K在線段BC上,

設(shè)圖象T1所在拋物線方程為：，點L為直線BC與拋物線的交點，則點L的坐標(biāo)滿足下列兩個方程：，，

∴點L的橫坐標(biāo)是方程：的解，

當(dāng)圖象T1與直線BC相切時有：

，

∴ ，

∴,

∵,

∴點L在圖象T1上,

∵，

∴點L在段BC上

∴圖象T1頂點橫坐標(biāo)的取值范圍：.