Question

在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)銳角∠AOB=α，將△DOC按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．
（2）當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，設(shè)AC=kBD，如圖2．
①猜想此時(shí)△AOC′與△BOD′有何關(guān)系，證明你的猜想；
②探究AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明△BOD′≌△AOC′；
（2）①先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；
②易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB=α．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，
∴OA=OC=OB=OD，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB=OD′=OA=OC′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴在△BOD′和△AOC′中，

OA=OB ∠BOD′=∠AOC′ OD′=OC′

∴△BOD′≌△AOC′；

（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：
∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OC′=OA，OD′=OB，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∴△BOD′∽△AOC′；
②AC′=kBD′，∠AMB=α；
設(shè)BD′與OA相交于點(diǎn)N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形、平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，難度較大．