Question

如圖，已知正方形ABCD和正方形DEFG，點(diǎn)G在AD上．連接AE交FG于點(diǎn)M，連接CG并延長交AE于點(diǎn)N，
（1）寫出圖中所有與△EFM相似的三角形；
（2）證明：EF²=FM•CD．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得：△EFM∽△CGD∽△NEC∽△AGM∽△AGN∽△GMN∽△ADE；

（2）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADE=∠CDG=90°，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又AD∥EF，∴∠DAE=∠FEN，
則∠DCG=∠FEN，
∠GDC=∠EFM=90°，
∴△EFM∽△CGD，
得比例GD：MF=CD：EF，
由正方形DEFG，得GD=EF，
則EF²=FM•CD．
分析：（1）△CGD，△NEC，△AGM，△AGN，△GMN，△ADE都與△EFM相似，△CGD與△EFM相似，原因是由兩正方形的性質(zhì)得到一對(duì)直角相等，兩對(duì)邊長相等，進(jìn)而得到三角形ADE與三角形CDG全等，得到對(duì)應(yīng)角∠DAE與∠DCG相等，根據(jù)AD與EF平行，得到內(nèi)錯(cuò)角∠DAE與∠FEN相等，根據(jù)等量代換得到∠DCG與∠FEN相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得證；△NEC與△EFM相似，由∠DCG與∠FEN相等，且∠CNE與∠F相等都為直角，故得證；△ADE與△EFM相似，原因是由AD與EF平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，另加一對(duì)直角相等，故得證；△AGM與△EFM相似，∠DAE與∠FEN相等且對(duì)頂角相等即可得證；△AGN與△EFM相似，∠DAE與∠FEN相等，∠ANG與∠F相等都為直角，即可得證；△GMN都與△EFM相似，由直角∠GNM與∠F相相等且一對(duì)對(duì)頂角相等即可得證；
（2）由（1）中得到的△EFM∽△CGD，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，得到一個(gè)比例式，根據(jù)正方形的邊長相等等量代換即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)以及相似三角形的判斷與性質(zhì)．考查學(xué)生應(yīng)有的觀察和邏輯思維能力，解決這類問題的方法一般采用“聯(lián)想分析綜合法”，即先“聯(lián)想”發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后分析尋找，總結(jié)結(jié)論．