Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是

AB

的中點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E是OB的中點，CE的延長線交切線BD于點F，AF交⊙O于點H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）連接OC，由C是

AB

的中點，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；
（2）根據(jù)點E是OB的中點，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=

AB2+BF2

，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵C是

AB

的中點，AB是⊙O的直徑，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中點，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，

∠CEO=∠FEB OE=BE ∠COE=∠FBE

，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=

AB2+BF2

=2

5

，
∵AB是直徑，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴

AB

BH

=

AF

BF

，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH=

AB•BF

AF

=

4×2

2 5

=

4 5

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，是中檔題，難度不大．