Question

15．如圖，已知射線MN表示一艘輪船的航行路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|30°，在M的南偏東60°方向上有一點(diǎn)A，A處到M處為80海里．
（1）求點(diǎn)A到航線MN的距離；
（2）在航線MN上有點(diǎn)B，且∠MAB=15°，求輪船從M處到B處的距離．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥MN于H．由方向角的定義可知∠QMB=30°，∠QMA=60°，那么∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．解直角△AMH，得出AH=$\frac{1}{2}$AM=40海里，MH=$\sqrt{3}$AH=40$\sqrt{3}$海里；
（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠HAM=60°，由∠MAB=15°，得出∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，那么△AHB是等腰直角三角形，得出BH=AH=40海里．

解答 解：（1）如圖，過A作AH⊥MN于H．
∵∠QMB=30°，∠QMA=60°，
∴∠NMA=∠QMA-∠QMB=30°．
在直角△AMH中，∵∠AHM=90°，∠AMH=30°，AM=80海里，
∴AH=$\frac{1}{2}$AM=40海里，MH=$\sqrt{3}$AH=40$\sqrt{3}$海里，
即點(diǎn)A到航線MN的距離為40海里；

（2）在直角△AMH中，∵∠AHM=90°，∠AMH=30°，
∴∠HAM=60°，
∵∠MAB=15°，
∴∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°，
∵∠AHB=90°，
∴BH=AH=40海里，
∵M(jìn)H=40$\sqrt{3}$海里，
∴MB=（40$\sqrt{3}$-40）海里．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．