Question

10．如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點(diǎn)F．
（1）試說明OE=OF；
（2）當(dāng)AE=AB時，過點(diǎn)E作EH⊥BE交AD邊于H，找出與△AHE全等的一個三角形加以證明，
（3）在（2）的條件下若該正方形邊長為1，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AC⊥BD，OA=OB，求出∠FAO=∠EBO，根據(jù)ASA推出△AFO≌△BEO即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，求出∠CBE=∠AEH，AE=AB=BC，證△BCE≌△EAH；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CE=AH，即可得出答案．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB，
∴∠AOF=∠BOE=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠FGB=90°，
∴∠OBE+∠BFG=90°，∠FAO+∠AFO=90°，
∵∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠EBO，
在△AFO和△BEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠EBO}\\{OA=OB}\\{∠AOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．


（2）△BCE≌△EAH，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，
∵EH⊥BE，
∴∠AEH+∠AEB=90°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠CBE=∠AEH，
∵AE=AB=BC，
在△BCE和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠ECB}\\{AE=BC}\\{∠AEH=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△EAH（ASA）；

（3）解：∵△BCE≌△EAH，
∴CE=AH，
∵AB=BC=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
∵AE=AB=1，
∴AH=CE=AC-AE=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力．