Question

拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNC=90°，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）P（，）（3）≤m≤5，理由見(jiàn)解析

【解析】解：（1）由題意得：，解得：，

∴拋物線解析式為；

 

（2）令，

∴x₁= -1，x₂=3，

即B（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為，

設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），

∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，

∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB

，

∴當(dāng)時(shí)，△BDC的面積最大，此時(shí)P（，）；

 

（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，

∴OF=1，EF=4，OC=3，

過(guò)C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH=EH=1，

當(dāng)M在EF左側(cè)時(shí)，

∵∠MNC=90°，

則△MNF∽△NCH，

∴，

設(shè)FN=n，則NH=3-n，

∴，

即n²-3n-m+1=0，

關(guān)于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，

得m≥，

當(dāng)M在EF右側(cè)時(shí)，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，

作EM⊥CE交x軸于點(diǎn)M，則∠FEM=45°，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N為點(diǎn)E時(shí)，OM=5，

∴m≤5，

綜上，m的變化范圍為：≤m≤5．

（1）由y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；

（2）首先令-x²+2x+3=0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的長(zhǎng)，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先過(guò)C作CH⊥EF于H點(diǎn)，則CH=EH=1，然后分別從點(diǎn)M在EF左側(cè)與M在EF右側(cè)時(shí)去分析求解即可求得答案．