Question

如圖所示，四邊形ABCD是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓的內(nèi)接四邊形，對角線AC、BD相交于點E．
（1）求證：△DEC∽△AEB；
（2）當(dāng)∠AED=60°時，求△DEC與△AEB的面積比．

Answer 1

（1）證明：∵∠CDE=∠EAB，∠DCE=∠EBA，
∴△DEC∽△AEB．

（2）解：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90度．
∵∠AED=60°，
∴∠DAE=30度．
∴AE=2DE．
∴S_△DEC：S_△AEB=DE²：AE²=1：4．
分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論發(fā)現(xiàn)兩個三角形中的兩個角相等，從而證明三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，兩個三角形的面積比即是DE和AE的比的平方．根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)即可證明．
點評：熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．