Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），過點A的直線y=kx+1交拋物線于點C（2，3）。
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1與拋物線的對稱軸交于點E，以點E為中心將直線y=kx+1順時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l，設(shè)直線l與y軸的交點為P，求△APE的面積；
（3）若G為拋物線上一點，是否存在x軸上的點F，使以B、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵點C（2，3）在直線y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直線AC的解析式為y=x+1．
∵點A在x軸上，
∴A（﹣1，0）．
∵拋物線y=﹣x²+bx+c過點A、C，
∴解得
∴拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．
（2）由y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，可得拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根據(jù)題意，知點A旋轉(zhuǎn)到點B處，直線l過點B、E．
設(shè)直線l的解析式為y=mx+n．
將B、E的坐標(biāo)代入y=mx+n中，
聯(lián)立可得m=﹣1，n=3．
∴直線l的解析式為y=﹣x+3．
∵P（0，3）．過點E作ED⊥x軸于點D．
∴S_△PAE=S_△PAB﹣S_△EAB=AB·PO﹣AB·ED=×4×（3﹣2）=2．
（3）存在，點F的坐標(biāo)分別為（3﹣，0），（3+，0），
（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．