Question

如圖，二次函數(shù)y=x²經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），∠BAO=90°，AB交y軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C、點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且對稱軸經(jīng)過Rt△BAO的外接圓圓心，求該二次函數(shù)解析式；
（3）若二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，試求出滿足此條件的一個二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）易知直線OA的解析式為y=x，由于OA⊥AB，設(shè)直線AB的解析式為y=-x+h．
則有：-1+h=1，h=2，
∴直線AB的解析式為y=-x+2．
∴C（0，2）．
由于B是直線AB與拋物線y=x²的交點(diǎn)，
則有，
解得，，
∴B（-2，4）．

（2）由題意可知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1．
則有：，
解得，
∴y=-x²-2x+4．

（3）根據(jù)題意有：
，
解得，
∴y=ax²-（a-1）x+2-2a，
由于拋物線與x軸有兩個不同交點(diǎn)，
令y=0，ax²-（a-1）x+2-2a=0，
△=（a-1）²-4a（2-2a）=9a²-10a+1=（9a-1）（a-1）＞0，且a＞0
∴0＜a＜或a＞1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=2x²-x-2（答案不唯一）．
分析：（1）可先求直線AB的解析式，然后再求C、B的坐標(biāo)．由于直線AB與直線OA垂直，因此兩直線的斜率的乘積為-1，先求出直線OA的解析式，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線AB中即可求出直線AB的解析式．
（2）直角三角形BAO的外接圓的圓心必為OB的中點(diǎn)，因此拋物線的對稱軸方程應(yīng)該是B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，然后在講A、B坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（3）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用a替換掉b、c，然后根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，那么y=0時方程的△＞0，據(jù)此可求出a的取值范圍，據(jù)此可判斷出二次函數(shù)的解析式．
點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)．