Question

9．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC，BD相交于O，P是邊BC上一點(diǎn)，AP與BD交于點(diǎn)M，DP與AC交于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則AM：PM=2：1；
②若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則四邊形OMPN的面積是8；
③若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的總面積為28；
④若點(diǎn)P在BC的運(yùn)動(dòng)，則圖中陰影部分的總面積不變．
其中正確的是①③．（填序號(hào)即可）

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出AD=BC，AD∥BC，由平行線得出AM：PM=AD：BP，由中點(diǎn)的定義得出AM：PM=2：1，①正確；
②不正確；作MG⊥BC于G，則MG∥AB，得出△PMG∽△PAB，求出MG=$\frac{1}{3}$AB=2，得出四邊形OMPN的面積=△BOC的面積-△MBP的面積-△NCP的面積=4，得出②不正確；
求出圖中陰影部分的總面積=矩形ABCD的面積-圖中空白部分的面積=28，③正確；
④錯(cuò)誤；由P在B時(shí)，陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24≠28，得出④不正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴AM：PM=AD：BP，
∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴AM：PM=2：1；
②不正確；作MG⊥BC于G，如圖所示：
則MG∥AB，
∴△PMG∽△PAB，
∴MG：AB=PM：PA=1：3，
∴MG=$\frac{1}{3}$AB=2，
∴四邊形OMPN的面積=△BOC的面積-△MBP的面積-△NCP的面積=$\frac{1}{4}$×8×6-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×4×2=4；③正確；
∵圖中空白部分的面積=△DBP的面積+△ACP的面積-四邊形OMPN的面積=$\frac{1}{2}$×4×6+$\frac{1}{2}$×4×6-4=20，
∴圖中陰影部分的總面積=矩形ABCD的面積-圖中空白部分的面積=8×6-20=28；④錯(cuò)誤；
∵P在B時(shí)，陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24≠28；
正確的有①③；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形以及矩形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線是解決問(wèn)題②的關(guān)鍵．