【題目】問題背景:

如圖①,在四邊形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系

小吳同學(xué)探究此問題的思路是:將△BCD繞點(diǎn)D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)A,E處(如圖②),易證點(diǎn)C,A,E在同一條直線上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD

簡單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC=,BC=,則CD=

(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的長

拓展規(guī)律:

(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)

(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE=AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是

【答案】(1)3;(2);(3);(4)PQ=AC或PQ=AC.

【解析】

試題分析:(1)由題意可知:AC+BC=CD,所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度;

(2)連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第(1)問的問題,利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度;

(3)以AB為直徑作⊙O,連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1,由(2)問題可知:AC+BC=CD1;又因?yàn)镃D1=D1D,所以利用勾股定理即可求出CD的長度;

(4)根據(jù)題意可知:點(diǎn)E的位置有兩種,分別是當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)和當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時,連接CQ、CP后,利用(2)和(3)問的結(jié)論進(jìn)行解答.

試題解析:(1)由題意知:AC+BC=CD,∴=CD,∴CD=3,;

(2)連接AC、BD、AD,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵,∴AD=BD,將△BCD繞點(diǎn)D,逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處,如圖③,∴∠EAD=∠DBC,∵∠DBC+∠DAC=180°,∴∠EAD+∠DAC=180°,∴E、A、C三點(diǎn)共線,∵AB=13,BC=12,∴由勾股定理可求得:AC=5,∵BC=AE,∴CE=AE+AC=17,∵∠EDA=∠CDB,∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB=90°,∵CD=ED,∴△EDC是等腰直角三角形,∴CE=CD,∴CD=;

(3)以AB為直徑作⊙O,連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1,連接D1A,D1B,D1C,如圖④

由(2)的證明過程可知:AC+BC=D1C,∴D1C=,又∵D1D是⊙O的直徑,∴∠DCD1=90°,∵AC=m,BC=n,∴由勾股定理可求得:,∴,∵,∴==,∵m<n,∴CD=;

(3)當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時,如圖⑤,連接CQ,PC,∵AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)P是AB的中點(diǎn),∴AP=CP,∠APC=90°,又∵CA=CE,點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn),∴∠CQA=90°,設(shè)AC=a,∵AE=AC,∴AE=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(2)的證明過程可知:AQ+CQ=PQ,∴PQ=a,∴PQ=AC;

當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時,如圖⑥,連接CQ、CP,同理可知:∠AQC=∠APC=90°,設(shè)AC=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(3)的結(jié)論可知:PQ=(CQ﹣AQ),∴PQ=AC.

綜上所述,線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是PQ=AC或PQ=AC.

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(1)求過O,A,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動;同時,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動.規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時,另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,PA=QA?

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