Question

某企業(yè)引進一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修費用累計為w（萬元），且w=ax²+bx，若第1、2年的維修費用累計為6萬元，第1、2、3年的維修費用累計為12萬元．
（1）試求w的解析式；
（2）已知該企業(yè)引進這條生產(chǎn)線時投資100萬元，預(yù)計投產(chǎn)后平均每年的產(chǎn)值為33萬元，設(shè)這個企業(yè)從第一年到第x年累計獲得的利潤總和為y萬元，
①若只考慮投資與維修費用這兩頂支出，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求這條生產(chǎn)線投產(chǎn)后的第幾年能使企業(yè)獲得的累計利潤總和最多？最多的累計利潤總和是多少萬元？
②利用①中的函數(shù)及其圖象分折，該企業(yè)投產(chǎn)后，大約在哪幾年內(nèi)能盈利？

Answer 1

分析：（1）分別將x=2，w=6和x=3，w=12分別代入w=ax²+bx中計算可得a、b的值，那么解析式可求；
（2）①根據(jù)盈利、投入和維修費用三項列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將二次函數(shù)關(guān)系式進行適當(dāng)變形，找出拋物線頂點，即可知道這條生產(chǎn)線投產(chǎn)后的第幾年能使企業(yè)獲得的累計利潤總和最多，并可求出最多的累計利潤總和；
②根據(jù)上面步驟可畫出二次函數(shù)的拋物線圖象，根據(jù)拋物線的開口、頂點和與x軸的交點來判斷該企業(yè)投產(chǎn)后，大約在哪幾年內(nèi)能盈利．

解答：解：（1）將x=2，w=6和x=3，w=12分別代入w=ax²+bx中計算得，
a=1，b=1，
所以w的解析式為：w=x²+x；

（2）①由題意得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=33x-100-x²-x，
則y=-（x-16）²+156（x＞0），
∴投產(chǎn)后的第16年能使企業(yè)盈得的累計利潤總和最多，最多的累計利潤總和是：156萬元．
②函數(shù)y=-（x-16）²+156的草圖如圖，函數(shù)圖象的對稱軸是x=16，頂點為（16，156），開口向下，在對稱軸左邊y（累計獲得的利潤總和）隨著x的增大而增大，在對稱軸右邊y（累計獲得的利潤總和）則隨著x的增大而減少．
令y=33x-100-x²-x=0，
解得x1=16-2

39

≈3.51，x2=16+2

39

（舍去）．
根據(jù)上述分析可得這個企業(yè)投產(chǎn)后大約在第4年到第16年內(nèi)盈利．

點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．