Question

5．如圖，拋物線y=x²-4x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為D．
（1）若點(diǎn)P在拋物線上，且∠PDB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，且∠BPD=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DN⊥AB于N，在OC上取一點(diǎn)M，使得OM=BN=1，DM交拋物線于點(diǎn)P，先證明△DBM是等腰直角三角形，再求出直線DM與拋物線的交點(diǎn)即可．
（2）如圖2中，連接CD，設(shè)對稱軸交CD于H，交AB于M，在對稱軸上取一點(diǎn)K，使得KM=HD=2，先證明△BMH≌△KHD，推出△DKB是等腰直角三角形，以K為圓心DK為半徑作圓，交對稱軸于P₁，P₂，點(diǎn)P₁，P₂，就是所求的點(diǎn)P，根據(jù)半徑相等可以解決問題．

解答 （1）解：如圖1中，作DN⊥AB于N，在OC上取一點(diǎn)M，使得OM=BN=1，DM交拋物線于點(diǎn)P．
在△BOM和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=BN}\\{∠BOM=∠DNB}\\{OB=DN}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△DNB，
∴BM=DB，∠DBN=∠BMO，
∵∠BMO+∠MBO=90°，
∴∠MBO+∠DBN=90°，
∴∠DBM=90°，
∴∠DMB=∠BDM=90°，
設(shè)直線DM解析式為y=kx+b，點(diǎn)D（4，3），則$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線DM解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（2）如圖2中，連接CD，設(shè)對稱軸交CD于H，交AB于M，在對稱軸上取一點(diǎn)K，使得KM=HD=2，
在△BMH和△KHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{KM=DH}\\{∠DHK=∠KMB}\\{HK=BM}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△KHD，
∴DK=KB，∠DKH=∠KBM，
∵∠KBM+∠BKM=90°，
∴∠DKH+∠BKM=90°，
∴∠DKB=90°，
∴△DKB是等腰直角三角形，以K為圓心DK為半徑作圓，交對稱軸于P₁，P₂，
∴∠BP₁D=∠BP₂D=$\frac{1}{2}$∠DKB=45°，
∵KP₁=KP₂=DK=$\sqrt{5}$，
∴P1（2，2+$\sqrt{5}$），P₂（2，2-$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形以及等腰直角三角形解決問題，題目有難度，屬于中考壓軸題．